Jednakost i različitost
Jedan od većih problema učenja fizike, pogotovo u ranom učenju u osnovnoj školi i prvom razredu srednjih škola su vektori. Naime, u matematici se definiraju dvije veličine. Jedna je nazvana skalar, a druga vektor. Za definiranje skalara dovoljan je samo jedan podatak. Međutim, za definiranje vektora neophodna su tri podatka.
Matematičke operacije sa skalarima, manje-više su, poigravanje s realnim brojevima i u najvećoj mjeri prihvatljive učenicima, ali kad je riječ o matematičkim operacijama s vektorima, situacija se dramatično mijenja.
Usporedio bih to s percipiranjem jednodimenzionalnog koordinatnog sustava (pravac), dvodimenzionalnog (ravnina) i trodimenzionalnog koordinatnog sustava (prostor).
Ne znam što o tome misle psiholozi. Naime, ja sam se uvjerio da djeca nisu glupa, ali da zbog nečega mozak djece / učenika u tom razdoblju razvoja, ima silne probleme s vizualizacijom treće dimenzije. Mislim da su to dokučili i matematičari stavljajući stereometriju i vektore tek u treći razred uobičajenih gimnazijskih programa.
Matematika u osnovnoj i srednjim školama je u najvećoj mjeri samo skup pravila u igricama s brojevima. Mislim da bi se većina složila da je riječ o skalarnim veličinama. Međutim, ako biste upitali bilo kojeg učitelja matematike: što je broj?, siguran sam da bi rijetki odmah odgovorili… bilo što, jer je riječ broj oduvijek samorazumljiv pojam.
A number is an abstract way to represent a quantity.
Broj je apstraktan način predstavljanja vrijednosti neke veličine.[1]
Digresija
Prva školska trauma, dogodila mi se u prvom razredu osnovne škole. Priča je zabavna i rekao bih čak i poučna, zato je navodim. Tada su u modi bile bilježnice (mi smo ih zvali teke), koje su na zadnjoj korici imale ispisane tablicu množenja s brojevima od 1 do 10. Još zabavnije je bilo da je učiteljica počesto provjeravala jesmo li je naučili. Sa slovima sam do tada već ostvario dobru komunikaciju, ali brojeve u pisanom obliku sam prvi put susreo, i gledajući tablicu množenja osjećao sam se jadno. Ne znam ubog čega, ali čini se da sam već tada odlučio ne učiti ono što ne razumijem (tj. nabubetati tablicu množenja). I dogodile su moje prve instrukcije. Ne znam koliko puta sam iznervirao jednog Gorana s kojim sam se družio, pitajući ga svašta, ali se pokazalo da mi se tablica množenja odjednom objavila jasnom. Oznake brojeva sam lako upamtio, ali nisam uspijevao dokučiti razumijevanje operacije množenja brojeva. A zašto je Goran to odmah i s lakoćom dokučio, tek kasnije sam otkrio razlog. Na početku sam mislio da je Goran pametniji od mene. Da, da to je oduvijek kriterij mjerenja među ljudima. Meni uopće nije smetalo tada, kao ni danas „priznati“ da je netko pametniji od mene. Razlog je banalan. Nisam znao što je pamet (ni danas ne znam). Bio sam siguran da ja igram bolje nogomet od njega, a to što je on pametniji do mene nije me uopće brinulo.
Ovom digresijom pokušavam reći notornu istinu koja se neprekidno objavljuje i naglašava: ljudi se razlikuju!
Ako pretpostavimo da svi kreatori predmetnih programa znaju za notorno istinu, lako se upitati: zašto čine ono što čine?, kreirajući predmetne programe s pozicije da su sva djeca istih godina jednakih mentalnih i motoričkih sposobnosti.
Ako sam u pravu, mislim da se može zaključiti da su odgojno – obrazovni programi (predškolski i programi prve četiri godine osnovne škole), pogrešno kreirani.
Mogao bih iznositi argumente, ali ispisujem samo prijedlog.
Kurikulum odgoja i obrazovanja u navedenom razdoblju trebaju obilježavati iskustvena područja djece. Na prvo mjesto bih stavio jezičnu komunikaciju. Jer to je konstanta u svim životima ljudi. Budući da je ta priča ipak u dijelu nekakvih obveza (recimo s nazivnikom, morao bi, trebao bi…), relaksaciju bi mogli pronaći u likovnom, glazbenom i sportskom / motoričkom objavljivanja sebe.
Posebno naglašavam!
U tom razdoblju ne smije postojati mjerenje / uspoređivanje djece (učenika) na bilo kojoj razini, a pogotovo ne na razini nekakvih ocjena. Dakle, nema ocjenjivanja!
Naravno je, i priroda se objavljuje u svojoj raznolikosti. Tu raznolikost prirode svakako treba upoznati, ali bez ijednog pokušaja da se ukazuje na uzroke razlikovanja. Jer je najvažnija poruka, i mi (ljudi) i priroda se objavljujemo u različitostima! Zašto je to tako (uzroci) imamo vremena otkrivati i otkriti – kad budemo spremni!
Ako / kad bi se različitost usvojila (svjesno / podsvjesno) jednom objavila kao konstanta života (i našeg življenja i opstanka) na našem planetu…, i prihvatila u društvu kao konstanta, možda bi to mogao biti početak nekog, drugačijeg poimanja društva.
Vraćam se izvornoj temi.
Ako ste pokušali dokučiti definiciju broja, jasno vam je da je definicija u području nečega što zovemo apstrakcija. Ako je tako, nije teško zaključiti i to: matematika je apstraktna znanost! Pogledajmo značenje pridjeva apstraktan
apstraktan (lat. abstractus: izdvojen), koji nije povezan s predmetnim svijetom, s činjenicama ili praktičnom primjenom.
apstraktan • Zamišljen, koji postoji ili je zamišljen da postoji odvojen od materijalnih predmeta, misaoni, mislen, koji postoji samo kao pojam; teorijski, čist; težak za razumijevanje, viši, dubok, dubokomislen; …
Što to znači u praksi (recimo pri učenju matematike) vidljivo je u svim školama. Matematika se objavljuje kao najteži školski predmet.
Pomak
Pomak je udaljenost između rubnih točaka puta.
To je, recimo, uobičajena definicija fizikalne veličine (?) nazvane pomak. Rekao bih da je većina učenika može vizualizirati s lakoćom. Budući da pomak ima skromnu primjenu (skoro zanemarivu) u rješavanju uobičajenih (školskih) kinematičkih problema, taj podatak učenicima niti smeta niti koristi (ovako definiran) u učenju. Suvišan je!
Međutim, zadnjih dvadesetak i više godina pomaku se u školskim programima posvećuje puno pozornosti. Pokušao sam dokučiti zašto je to tako, i naišao na zabavan zaključak. Pogledajmo:
Riječ je o davnom pokušaju da se potraga za pravom brzinom tijela u gibanju pokuša prikazati što točnije. Međutim, pretpostavljam da je netko od mudrih fizičara jasno uočio da je navedeni prikaz brzine (s limesima) – netočan, jer brzina je vektor. I uskoro smo dobili vektorski i potpuno točan zapis.
I naša jednostavna priča se počela dramatično mijenjati. Skalarne i djeci prihvatljive veličine odjednom ulaze u apstraktno područje. Pređeni put (skalar ) postaje vektor
I evo nas kod pomaka. Navedena definicija, koja pomak definira iznosom vektora, je pogrešna. Pogledajmo kamo nas je odvela ova intervencija.
Vektor je skup svih međusobno ekvivalentnih orijentiranih dužina.
Relacija ekvivalencije:
- Isti iznos,
- Isti smjer,
- Ista orijentacija.
Iznos vektora se određuje određivanjem udaljenosti od početne do završne točke jednog predstavnika skupa, recimo, usmjerene dužine 
.
Smjer je vektora određen pravcem na kojem se nalazi usmjerena dužina. Paralelni pravci imaju isti smjer.
Orijentacija vektora određena je orijentacijom jednog predstavnika skupa, recimo, usmjerene dužine . Ako je orijentacija definirana od polazne točke (A) do završne točke (B) usmjerene dužine , nazivamo je pozitivnom (+), u suprotnom je orijentacija vektora negativna (-).
(HE)
Vektor je usmjerena dužina kod koje razlikujemo početnu i završnu točku. Vektor kod kojeg je točka A početna, a B krajnja (završna) točka zapisujemo kao −−→ i čitamo vektor .
Vektor je usmjerena dužina kojoj je jedna rubna točka određena za početak, a druga za kraj (završetak). Vektor, kojemu je početna točka A, a završna točka B, označavamo −−→.
(e-skole)
Naveo sam definiciju vektora iz Hrvatske enciklopedije i dvije definicije vektora koje se promoviraju na portalu e-skole. Primjetno je da se razlikuju.
Pogledajmo kako bi sada izgledala definicija pomaka.
Pomak je vektorska veličina definirana iznosom, smjerom i orijentacijom.
Naravno, budući da smo iznos već definirali, valja nam definirati i smjer i orijentaciju vektora. Recimo da se i to može lako odraditi i razumjeti, međutim, nakon što smo uvođenjem pomaka afirmirali vektor u potrazi za istinom, zapravo smo otvorili Pandorinu kutiju. Naime, kinematika i dinamika temelje se na fizikalnim veličinama vektorske prirode. I odjednom je nastupio nered u matematičkim zapisima zakona. Učenici, a počesto i učitelji, nisu više znali kada i na kojem mjestu stavljati predznak plus, odnosno minus. I kakvo značenje imaju predznaci.
Digresija
Uvijek se volim prisjećati svojeg doživljaja učenja i razumijevanja. Recimo, ja se uopće ne sjećam epizode učenja o vektorima. Možda su nas upoznavali s vektorima u matematici, u nekom razdoblju, ali očito da je to bilo u mojem odrastanju – u pravo vrijeme. Naravno je da smo u prvom razredu morali „zbrajati i rastavljati“ sile, ali nam baš nitko nije spominjao vektore. Igrali smo se s trokutima i paralelogramima – i dobivali iznose (skalare)… Moje „traume“ su se objavljivale jedino kad nisam uspio dosegnuti razinu razumijevanja pojave.
Da nema zabune, za pomak sam prvi put čuo kad se prije nešto više od dvadesetak godina počeo objavljivati u udžbenicima. I dodajem, moje nepoznavanje pomaka i „vektorskih“ fizikalnih veličina, ni najmanje me nije omelo u pokušajima razumijevanja…
Postojeći hrvatski tzv. kurikulum fizike, na nedavnoj državnoj maturi, proizveo je prosječnu ocjenu 1.7 !!!.
(Moram navesti i ovaj podatak: u ljetnom roku na nastavničke studije povezane s fizikom na PMF – Zg, nije se upisao ni jedan student.).
Test sam riješio i pokušavao dokučiti: što se prethodno događalo, a što dogodilo? Još uvijek odgađam komentar, ali naslućujem da je veliki šum u komunikaciji između tzv. kurikuluma fizike i povjerenstva zaduženog za testove državne mature iz fizike.
Budući da sam priču počeo s matematikom i razlikovanju učenika, moram dodati. Matematika je za mene bez ikakve sumnje savršena znanost. Ali naveo sam i to: matematika je apstraktna znanost! O tome nema naznaka u tzv. kurikulumima matematike. To što je savršena ne daje joj pravo da proizvodi trajne traume kod djece od rane dobi.
Mislim da se više ne trebaju „zatvarati oči“ i ignorirati to što je očito. Matematika je važna samo onima kojima jeste.
Zbog toga je, što prije, treba izbaciti s popisa obveznih predmeta na državnoj maturi!
Na kraju
Mala rasprava o brojevima i vektorima na neobičan me način odvela do odnosa između učenja, učenika i predmeta učenja i zaključka: uspješan proces učenja temelji se na prilagođavanju različitostima učenika. I još zanimljivijeg zaključka: jednakost postoji jedino u apstraktnim područjima! Matematika je najočitiji primjer.
U svijetu koji obilježava život jednakost ne postoji.
Jedina konstanta je različitost.
U školskim sustavima se to primjećuje u tzv. individualizaciji u nastavi i u pravilu se navodi u svim odgojno-obrazovnim dokumentima. Riječ je o običnom licemjerju, jer svi predmetni programi su kreirani prema nekakvom „profilu prosječnog učenika“ (koji ne postoji). Najstrašnije posljedice takvog pristupa su u procesu ocjenjivanja.
Međutim, unatoč tom saznanju, nastavljam priču o jednakosti na ekstreman način. O tome svjedoči poznata krilatica: liberté, égalité, fraternité (franc.: sloboda, jednakost, bratstvo), koja je obilježila francusku revoluciju. Poznate su posljedice nakon što je ostvarena. Pobjednička jednakost se objavila u krvoproliću drugačijih (onih koji se razlikuju).
Jednakost se danas najčešće objavljuje u pravnim dokumentima, s nazivnikom: svi smo mi jednaki na sudu! Riječ je o još jednom ekstremnom objavljivanju licemjerja. Jer, poznato je i to da je pravda slijepa!
Čitajući ispisano, zaključio sam da sam „uletio“ u područje „filozofiranja“ i odustajem. Nadam se samo da sam uspio poslati poruku da jednakost ljudi / učenika treba izbaciti iz jednadžbe u školskom odgojno – obrazovnom procesu i da je u različitosti ljudi / učenika bogatstvo društva.
